Keppler veröffentlicht Gesetze zur planetaren Bewegung - Geschichte

Keppler veröffentlicht Gesetze zur planetaren Bewegung - Geschichte

1609 veröffentlichte Johannes Kepler seine ersten beiden Gesetze der Planetenbewegung. Seine Gesetze erklärten die Bewegung von Planeten um die Sonne.

Haftungsausschluss: Das folgende Material wird zu Archivierungszwecken online gehalten.

Ein Überblick für Lehrer der Naturwissenschaften


    Unten ist ein Vortrag, der am 23. März 2005 vor Lehrern der Naturwissenschaften aus Anne Arundel County, Maryland, gehalten wurde. Es enthält einen Überblick über die Keplerschen Gesetze mit Beispielen, Anwendungen, Problemen und zugehöriger Geschichte, eine Ressource für Unterrichtsmaterialien
    Es ist verschlüsselt und mit den entsprechenden Abschnitten von "Von Stargazers to Starships" verknüpft. Die Lehrer erhielten auch Disketten mit dem Webmaterial, um offline darauf zugreifen zu können.


Ein Großteil dieser Übersicht stammt aus „From Stargazers to Starships“, einem ausführlichen Kurs über Astronomie, Newtonsche Mechanik, Sonnenphysik und Raumfahrt. Seine Homepage ist http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm und enthält auch Übersetzungen (Spanisch, Italienisch und Französisch), ein Glossar, eine Zeitleiste, Probleme, Unterrichtspläne, über 500 Antworten auf Fragen von Benutzern und mehr. Es verwendet Algebra und Trigonometrie (in denen ein kurzer Kurs enthalten ist), betont konzeptionelles Verständnis, Geschichte, Anwendungen und Verbindungen zu Kultur und Gesellschaft, und seine Abschnitte decken ein breites Spektrum von Niveaus ab, von der Mittelschule bis zum Erstsemester.

Eine Kurzanleitung zu Abschnitten von " Stargazers ", die sich auf Keplers Gesetze beziehen, finden Sie im Abschnitt " Keplers Gesetze ". Im Folgenden werden diese Abschnitte manchmal mit ihren Nummern bezeichnet. Die vollständige Linkliste erreichen Sie auch entweder über "Site Map" oben auf dieser Seite oder über "Zurück zur Startseite" am Ende.

    Beachten Sie, dass die Adressen hier abgekürzt sind, da Sie bereits bei "Stargazers" angemeldet sind.
    Somit ist die Homepage Sintro.htm
    nicht http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm

"Stargazers" enthält mehr Material, als jemals in einer regulären Klasse behandelt werden kann. Dennoch brauchen Lehrer ein breiteres Wissen, das es ihnen ermöglicht, Material entsprechend den Umständen auszuwählen und seltsame Leckerbissen ohne detaillierte Diskussion zu erwähnen, nur um Interesse zu wecken.

Und einige sehr glückliche Lehrer finden manchmal in der Klasse ein oder zwei Kinder, die wirklich mehr erfahren möchten. Solche Studenten können hierher geleitet werden, um ihr Interesse zu befriedigen.

Diese Übersicht konzentriert sich auf drei Punkte:
--- Was sind Keplersche Gesetze, was bedeuten sie und warum sind sie wichtig.


  1. Planeten bewegen sich in Ellipsen um die Sonne, mit der Sonne in einem Brennpunkt
  2. Die Linie, die die Sonne mit einem Planeten verbindet, überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten.
  3. Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz der mittleren Entfernung von der Sonne
    (auch angegeben als-- . der "halbgroßen Achse" der Umlaufellipse, die halbe Summe aus kleinstem und größtem Abstand von der Sonne)

Die Bedeutung der Keplerschen Gesetze

Die Keplerschen Gesetze beschreiben die Bewegung von Planeten um die Sonne.
Kepler kannte 6 Planeten: Erde, Venus, Merkur, Mars, Jupiter und Saturn.

Die Umlaufbahn der Erde um die Sonne.
Dies ist eine perspektivische Ansicht, die Form von
die tatsächliche Umlaufbahn ist sehr nahe an einem Kreis.

Alle diese (auch der Mond) bewegen sich in fast derselben flachen Ebene (Abschnitt #2 in "Stargazers"). Das Sonnensystem ist flach wie ein Pfannkuchen! Die Erde befindet sich auch auf dem Pfannkuchen, also sehen wir das gesamte System von der Seite - der gesamte Pfannkuchen nimmt eine Linie (oder vielleicht einen schmalen Streifen) ein, die den Himmel durchschneidet, die als Ekliptik bekannt ist. Jeder Planet, auch der Mond und die Sonne, bewegen sich entlang oder nahe der Ekliptik. Wenn Sie einen Haufen heller Sterne sehen, die in einer Linie über den Himmel aufgereiht sind - mit der Linie vielleicht auch der Mond (dessen Umlaufbahn auch in der Nähe dieses "Pfannkuchens" liegt) oder der Ort am Horizont, an dem die Sonne stand? gerade eingestellt-- Sie sehen wahrscheinlich Planeten.

    Antike Astronomen glaubten, die Erde sei der Mittelpunkt des Universums – die Sterne befanden sich auf einer um sie rotierenden Kugel (wir wissen jetzt, dass es sich tatsächlich um die Erde dreht) und die Planeten bewegten sich auf ihren eigenen „Kristallsphären“ mit variabler Geschwindigkeit. Normalerweise bewegten sie sich in die gleiche Richtung, aber manchmal kehrten sie sich für ein oder zwei Monate um, und niemand wusste warum.

Ein polnischer Geistlicher namens Nicholas Copernicus fand 1543 heraus, dass diese Bewegungen Sinn machten, wenn sich Planeten um die Sonne bewegten, wenn die Erde einer von ihnen war und wenn die weiter entfernten sich langsamer bewegten. Die Erde überholt dann manchmal die langsameren Planeten, die weiter von der Sonne entfernt sind, wodurch sich ihre Positionen zwischen den Sternen (für eine Weile) rückwärts bewegen. Die Umlaufbahnen von Venus und Merkur liegen innerhalb der Umlaufbahnen der Erde, sodass sie nie weit von der Sonne entfernt (z. B. um Mitternacht) gesehen werden.

Ich hoffe, dass die Beschreibung dieser Merkmale - der "Pfannkuchen" der Ekliptik, die umgekehrte ("retrograde") Bewegung, die Venus immer in der Nähe der Sonne - den Schülern helfen wird, ein Gefühl für das Erscheinen von Planeten am Himmel zu bekommen, da helle Sterne, die sich auf derselben Bahn wie Sonne und Mond bewegen. Die 12 Konstellationen entlang dieser Linie sind als Tierkreis bekannt, ein Name, der denen bekannt sein sollte, die Astrologie verfolgen. Venus, der hellste Planet, scheint über der Position der Sonne hin und her zu springen, ebenso wie Merkur – aber da er viel näher an der Sonne ist, können Sie ihn nur sehen, wenn er am weitesten von der Sonne entfernt ist, und dann erst kurz nach Sonnenuntergang oder vor Sonnenaufgang.

Die Schüler werden wahrscheinlich gehört oder gelesen haben, dass der Papst und die Kirche die Idee von Kopernikus bekämpft haben, denn in einem der Psalmen (die eigentlich Gebetsgedichte sind) sagt die Bibel, dass Gott "die Erde so aufstellte, dass sie sich nicht bewegt" [dass war eine Übersetzung: eine korrektere könnte sein "will nicht zusammenbrechen"]. Galileo, ein italienischer Zeitgenosse Keplers, der die Ideen des Kopernikus unterstützte, wurde von der Kirche wegen Ungehorsams vor Gericht gestellt und für den Rest seines Lebens zu Hausarrest verurteilt.

Es war eine Zeit, in der die Menschen oft antiken Autoren (wie dem griechischen Aristoteles) folgten, anstatt mit eigenen Augen zu sehen, was die Natur wirklich tat. Als die Menschen anfingen zu prüfen, zu beobachten, zu experimentieren und zu berechnen, brachte das die Ära der wissenschaftlichen Revolution und der Technologie. Unsere moderne Technologie ist das ultimative Ergebnis, und Keplers Gesetze (zusammen mit Galileis Arbeiten und denen von William Gilbert über Magnetismus) sind wichtig, weil sie diese Revolution auslösten.

Johannes
Kepler

Kepler arbeitete mit Tycho Brahe zusammen, einem dänischen Adligen, der die Vorteleskop-Astronomie auf höchste Präzision trieb und die Positionen von Planeten so genau wie das Auge erkennen konnte (Brahe starb 1602 in Prag, jetzt begannen die Teleskope der tschechischen Hauptstadt mit Galileo um 1609 ). Wenn Sie darüber lesen möchten, empfehle ich "Tycho and Kepler" von Kitty Ferguson, rezensiert auf http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm oder lesen Sie zumindest die Rezension. Lassen Sie mich daraus zitieren:

    Religiöse Intoleranz war weit verbreitet – tatsächlich bewegten sich die Ereignisse auf den 30-jährigen Krieg (1618-48) zu, Europas zerstörerischste Religionsschlacht, im Spiegel des Bürgerkriegs in Großbritannien. Kepler wurde zusammen mit allen anderen Angestellten der evangelischen Hochschulen der Stadt aus Graz vertrieben, nachdem der regierende Erzherzog verfügt hatte, dass sie die Stadt noch am selben Tag bei Einbruch der Dunkelheit verlassen müssen. Es war auch eine Ära, in der Keplers Mutter wegen Hexerei verhaftet wurde, als die meisten seiner zahlreichen Kinder im Kindesalter starben und als Tychos Ehe als zweitrangige "Slegfred"-Ehe angesehen wurde, weil seine auserwählte Frau nicht aus dem Adel stammte.

Versuchen Sie das auch den Schülern zu vermitteln. 1620 landeten die "Pilgrims" auf der Flucht vor dem Ausbruch des Religionskrieges, der später Europa verwüstete, in Plymouth Rock. Möglicherweise war es die Erinnerung an solche Kriege, die die USA viel später dazu veranlasste, die Trennung von Kirche und Staat zu verordnen. Erklären Sie, wie die Entwicklung von Wissenschaft und Gesellschaft oft eng miteinander verbunden ist.

Keplers erstes Gesetz

Erklären Sie zuerst, was eine Ellipse ist: einer der "kegelförmigen Abschnitte", Formen, die durch Schneiden eines Kegels mit einer flachen Oberfläche erhalten werden. Eine Taschenlampe erzeugt einen Lichtkegel: Richten Sie sie auf eine flache Wand und Sie erhalten einen konischen Abschnitt.

    Schlagen Sie die Wand senkrecht. Die Wand schneidet den Kegel senkrecht zu seiner Achse und man erhält einen Lichtkreis.

Neigen Sie den Kegel relativ zur Wand: eine Ellipse. Je schräger Sie neigen, desto weiter entfernt schließt sich die Ellipse.

Die erzeugten Kurven als
"konische Abschnitte" wenn flach
Ebenen werden über einen Kegel geschnitten.

Wenn die Achse des Kegels schließlich parallel zur Wand verläuft, schließt sich die Kurve nie: Sie erhalten eine Parabel. Die Keplerschen Gesetze (wie wir sie heute kennen) erlauben alle Kegelschnitte, und Parabeln liegen sehr nahe an den Bahnen nichtperiodischer Kometen, die sehr weit entfernt beginnen.

Es gibt viel, viel mehr. aber lassen Sie mich nur zwei Punkte ansprechen. Sie sind gute Argumente für den Unterricht, weil sie Keplers Werk um 1610 mit den neuesten wissenschaftlichen Erkenntnissen des 21. Jahrhunderts zusammenbringen.

Zunächst wird unten eine sehr berühmte Ellipse gezeigt. Seine Geschichte wird in Abschnitt #S7-a erzählt http://www.phy6.org/stargaze/Sblkhole.htm

Sie alle wissen wahrscheinlich, dass unsere Sonne Teil einer riesigen scheibenförmigen Ansammlung von Sternen ist – etwa 100 Milliarden bei der letzten Zählung – die Galaxie genannt wird. Es ist eine flache Scheibe, ein Pfannkuchen wie das Sonnensystem – und auch hier betrachten wir diesen Pfannkuchen von der Seite, so dass auch er die Sicht in einen schmalen Streifen ausschneidet. In diesem Streifen sehen wir einen Gürtel aus schwachen Sternen, der rund um die Himmelskugel verläuft, die „Milchstraße“.

Was hält unsere Galaxie (und weiter entfernte) zusammen? Lange Zeit glaubte man, dass sich in der Mitte ein riesiges Schwarzes Loch befindet, aber diese Mitte war von Staubwolken verdeckt und daher nicht leicht zu beobachten. Kürzlich wurden hochauflösende Teleskope gebaut, die für Infrarotlicht empfindlich sind und durch den Staub hindurchsehen können, und sie haben eine große Konzentration von sich schnell bewegenden Sternen nahe dem Zentrum der Galaxie in Bahnen gezeigt, die den Keplerschen Gesetzen gehorchen. Die Website zeigt die Ellipse eines Sterns, der das Zentrum einmal in 15,2 Jahren umkreist, und Berechnungen ergeben eine Masse von etwa 3,7 Millionen Sonnen, geben oder nehmen 1,5 Millionen.

    [ Nur für Astronomen : Die zentrale Masse hilft, die Galaxie zusammenzuhalten, aber es ist viel mehr Masse beteiligt, so dass die Rotation der ausgedehnteren Teile der Galaxien nicht dem 3. Keplerschen Gesetz gehorcht. Tatsächlich scheinen sich ihre Hauptteile wie feste Scheiben zu drehen, was schwer zu erklären ist, es sei denn, Galaxien enthalten neben leuchtenden Sternen viel "dunkle Materie", die die Schwerkraft beeinflusst, aber unsichtbar ist. Siehe Anmerkung und Ende von #20 ]

Zweitens haben wir gesagt, dass die Erde die Sonne umkreist (und die gleichen Gesetze gelten übrigens auch für künstliche Satelliten, die die Erde umkreisen). Aber stellen Sie sich vor, Sie könnten die Erde nach und nach immer schwerer und die Sonne gleichzeitig leichter und leichter machen. Was dann? An dem Punkt, an dem Erde und Sonne gleich schwer sind – welche Umlaufbahnen um welche?

    --- Zuerst erfand er die grundlegenden Bewegungsgesetze -- seither bekannt als "Newtons 3 Bewegungsgesetze", und Sie werden sie wahrscheinlich auch lehren.

--- Zweitens gab er uns das Gesetz der universellen Gravitation --zeigte, dass die gleiche Kraft, die Äpfel und Steine ​​zum Fallen brachte, auch den Mond in seiner Umlaufbahn hielt -- und daher wahrscheinlich alle Umlaufbahnen im Sonnensystem schuf .

Warum ist das wichtig? Weil es uns hilft herauszufinden, ob andere Sterne Planeten haben! Wir können diese Planeten nicht sehen - zu dunkel -, aber wenn der Stern auf komplizierte Weise hin und her wackelt, kann dies daran liegen, dass ein Planet ihn dazu veranlasst, sich zu bewegen.

Funktioniert es? Ja und nein (Ende von #11a). Viele Planeten wurden auf diese Weise entdeckt, aber die meisten von ihnen sind zu nah am Stern (wackelt auf einer Zeitskala von Wochen) und sind sehr groß. Es ist schwieriger, erdähnliche Planeten zu entdecken - das Wackeln ist kleiner und wir müssen viele Jahre beobachten, um eine Periodizität in der Größenordnung von einem Jahr zu erhalten. Aber bleiben Sie dran, Astronomen arbeiten daran.
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Keplers 2. Gesetz

(Diese Linie wird manchmal "Radiusvektor" genannt).

Zur Veranschaulichung des zweiten Keplerschen Gesetzes:
Segmente AB und CD nehmen
gleich mal abzudecken.

Eine Ellipse ist symmetrisch länglich-oval, mit zwei Brennpunkten, die symmetrisch zu den "schärferen" Enden angeordnet sind - ein Brennpunkt enthält die Sonne, der andere ist leer. (Zeichnen Sie eine solche Ellipse.) Wenn wir die Brennpunkte näher und näher bringen, erscheint die Ellipse immer mehr wie ein Kreis, und wenn sie sich überlappen, haben wir einen Kreis .

    [ Die Umlaufbahn der Erde und die meisten Planetenumlaufbahnen sind sehr nahe an Kreisen. Wenn Ihnen die Erdumlaufbahn ohne die Sonne im Fokus gezeigt würde, könnten Sie sie wahrscheinlich nicht von einem Kreis unterscheiden. Wenn die Sonne eingeschlossen ist, könntest du jedoch feststellen, dass sie leicht außermittig war.]
    (Der Stern S2 beschleunigt bis zu 2% der Lichtgeschwindigkeit, wenn er sich dem Schwarzen Loch im Zentrum unserer Galaxie nähert!)

Was passiert, lässt sich am besten in Bezug auf Energie verstehen. Wenn sich der Planet von der Sonne (oder dem Satelliten von der Erde) entfernt, verliert er Energie, indem er die Schwerkraft überwindet, und er verlangsamt sich wie ein nach oben geworfener Stein. Und wie der Stein gewinnt er seine Energie zurück (komplett - kein Luftwiderstand im Weltraum), wenn er zurückkommt.

Hier gibt es eine einfache Übung, die auch in Abschnitt #12A http://www.phy6.org/stargaze/Skepl2A.htm zu finden ist

Angenommen, Sie haben einen Planeten, dessen kleinster/größter Abstand vom Zentrum (r 1 , r 2 ) ist – sie heißen Perihel und Aphel [ap-helion]), wenn das Zentrum die Sonne ist, oder (Perigäum, Apogäum), wenn die Mittelpunkt ist die Erde. (Abstände werden immer von der Körpermitte oder von den Schwerpunkten aus gemessen)

Angenommen, es ist ein Planet, der die Sonne umkreist. Dann
-- die Geschwindigkeit V 1 am Perihel ist die schnellste für die Umlaufbahn. Es ist also die Distanz, die in einer Sekunde am Perihel zurückgelegt wird.
-- die Geschwindigkeit V 2 am Aphel ist die langsamste für die Umlaufbahn. Es ist also die Strecke, die in einer Sekunde am Aphel zurückgelegt wird.

Die vom "Radiusvektor" r während einer Sekunde nach dem Perihel überstrichene Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck der Basis V 1 , also beträgt seine Fläche 0,5 r 1 V 1

Die vom "Radiusvektor" r während einer Sekunde nach dem Aphel überstrichene Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck der Basis V 2 , also beträgt seine Fläche 0,5 r 2 V 2

Nach dem Flächengesetz sind beide Flächen gleich, also r 1 V 1 = r 2 V 2
Teilen Sie beide Seiten durch r 1 V 2
und erhalten V 1 :V 2 = r 2 :r 1

Wenn das Aphel r 2 dreimal so groß ist wie das Perihel, ist die Geschwindigkeit V 2 dort dreimal langsamer. (Hinweis: Dieses Verhältnis funktioniert nur an diesen beiden Punkten der Umlaufbahn. An anderen Punkten stehen Geschwindigkeit und Radius nicht senkrecht.)
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Wann sind wir der Sonne am nächsten? Ungefähr am 4. Januar, um etwa 1,5%, nicht genug, um die Sonne anders aussehen zu lassen.
Hier ist eine schnelle Möglichkeit, diese Asymmetrie zu demonstrieren (obwohl Sie möglicherweise keine Zeit haben, sie im Unterricht zu behandeln). Zeichnen Sie eine Ellipse mit der langen Achse und einer dazu senkrechten Linie durch die Sonne)
Es kommt so vor (reiner Zufall), dass Frühlings- und Herbst-Tagundnachtgleiche, wenn Tag und Nacht gleich sind, normalerweise am 21. März, 22. oder 23. September, sehr nahe an dieser senkrechten Linie liegen.

Sehen Sie sich die schematische Ansicht der Erdbahn in Abschnitt #3 an. Die lange Achse (wie oben definiert) ist die Linie zwischen Dezember und Juni in dieser Zeichnung, und die senkrechte Linie ist die Linie zwischen März und September.

Tatsächlich gelten beide Bedingungen, wenn die Erde der Sonne um den 4. Januar am nächsten ist ist bemerkenswert oval), und nach dem zweiten Keplerschen Gesetz bewegt sich die Erde schneller, wenn sie näher an der Sonne ist.
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Die Tatsache, dass die nördliche Hemisphäre im Hochwinter der Sonne am nächsten und im Hochsommer am weitesten entfernt ist, mildert die Jahreszeiten und macht sie milder.
Auf der Südhalbkugel wären sie härter, obwohl die großen Ozeane dort diesen Effekt mildern.

Aber die Erdachse bewegt sich in etwa 26000 Jahren um einen Kegel. In 13.000 Jahren werden wir im Hochsommer der Sonne am nächsten sein, und das Klima wird rauer. Wie in Abschnitt 7 beschrieben, mag dies ein Effekt sein, der mit den Ursprüngen der Eiszeiten zusammenhängt, aber die Details gehen über den Rahmen dieser Übersicht hinaus.

Keplers 3. Gesetz

    (3) Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional
    zum Kubus der mittleren Entfernung von der Sonne

Dies ist ein mathematisches Gesetz, und Ihre Schüler brauchen Rechner mit Quadratwurzeln, auch 3/2 Potenzen und 2/3 Potenzen (und vielleicht Kubikwurzeln oder 1/3 Potenzen, dasselbe).

Wenn zwei Planeten (oder zwei Erdsatelliten – funktioniert gleich) Umlaufzeiten T1 und T2 Tage oder Jahre und mittlere Entfernungen von der Sonne (oder großen Halbachsen) A1 und A2 haben, dann lautet die Formel, die den 3. Hauptsatz ausdrückt:

Die Schüler werden sofort fragen – wir können Tage zählen, um die Umlaufzeit T zu erhalten (obwohl es schwierig sein kann, wir müssen die Bewegung der Erde um die Sonne subtrahieren) – aber woher wissen wir die Entfernung A?

In Wahrheit tun wir das nicht, aber beachten Sie, dass nur Entfernungsverhältnisse erforderlich sind und Einheiten keine Auswirkungen auf die Verhältnisse haben. Nehmen wir zum Beispiel an, "Planet 2" ist die Erde, und alle Zeiten sind in Jahren. Dann ist T 2 =1 (Jahr) und wir können alle Entfernungen in Astronomischen Einheiten (AU) messen, dem mittleren Sonne-Erde-Abstand, so dass A 2 =1 (AU) ist. Das Gesetz lautet dann für jeden anderen Planeten (T 1 ) 2 = (A 1 ) 3 Dies kann überprüft werden, und in Abschnitt 10 finden Sie die Ergebnisse in einer Tabelle:

Sie können sehen, dass das Gesetz trotz unserer begrenzten Genauigkeit ziemlich gut gilt. Es zeigt auch, dass je größer die Entfernung ist, desto langsamer die Bewegung, was dazu führt, dass die äußeren Planeten von der Erde überholt werden, wodurch sie sich (für eine Weile) relativ zu den Fixsternen am Himmel rückwärts zu bewegen scheinen. Sie können dies alles mathematisch für Kreisbahnen mit den Newtonschen Gesetzen beweisen (siehe Abschnitt 21), aber auch das überspringe ich.

In Kilometern beträgt die astronomische Einheit etwa 150.000.000 km, das 400-fache der Mondentfernung. Es wurden alle möglichen Versuche unternommen, sie abzuleiten, beginnend mit dem altgriechischen Aristarchos (Abschn. 9a) und sie werden in Abschn. 10a behandelt. Es wurde erstmals 1672 mit einiger Genauigkeit durchgeführt, und die Aufregung über den jüngsten "Transit der Venus" vor der Sonne wurde durch einen damals von Halley (von Kometenruhm) gemachten Vorschlag motiviert, solche seltenen Transite zu verwenden, um die AU . zu messen . Die jüngsten ereigneten sich in den Jahren 2004 und 2012, dann vergeht mehr als ein Jahrhundert bis zum nächsten. Eine grobe Version der Berechnung, keine kurze, befindet sich in den Abschnitten #12c bis #12e von "Stargazers". (Einige andere "Methoden" können im Internet gefunden werden, die den Transit der Venus beinhalten, aber nicht seine Dauer, und sie sind nicht echt.)

Mit dem 3. Keplerschen Gesetz lassen sich alle möglichen Probleme lösen. Hier sind ein paar:

    Wie lange dauert es, den Mars in der effizientesten Umlaufbahn zu erreichen? Dies wird als "Hohmann Transfer Orbit" bezeichnet (Wolfgang Hohmann, 1925). Das Raumschiff muss sich zuerst von der Erde befreien (es umkreist die Sonne immer noch zusammen mit der Erde, mit 30 km/s, in einer Entfernung von 1 AE), dann fügt es Geschwindigkeit hinzu, so dass sein Aphel (in seiner Umlaufbahn um die Sonne) nur noch streift die Umlaufbahn des Mars, A = 1,524 AE (ohne Berücksichtigung der Elliptizität).
    Der Hohmann-Transferorbit

Für die Hohmann-Umlaufbahn beträgt die kleinste Entfernung 1,00 AE (Erde), die größte 1,524 AE (Mars), also ist die Haupthalbachse A = 0,5(1,00 + 1,524) = 1,262 AU A 3 = 2.00992 = T 2
Die Periode ist die Quadratwurzel T = 1,412 Jahre
Um den Mars zu erreichen, braucht man nur eine halbe Umlaufbahn oder T/2 = 0,7088 Jahre
Es entspricht etwa 8,5 Monaten. Weitere Details finden Sie in Abschnitt #21b.

Um die Sonne direkt von der Erde aus zu erreichen, müssen wir das Raumschiff von der Erde befreien. Es umkreist die Sonne mit der Erde immer noch mit 30 km/s (eine niedrige Erdumlaufbahn dauert nur 8 km/s), also müssen wir ihm einen entgegengesetzten Schub geben, der seine Geschwindigkeit (-30 km/s) erhöht. Es fällt dann direkt in die Sonne.

Diese Umlaufbahn ist ebenfalls eine Ellipse, wenn auch sehr dünn. Seine Gesamtlänge beträgt 1 (AU), die große Halbachse ist also A = 0,5 AE. Nach dem 3. Hauptsatz ist A 3 = 0,125 = T 2 und die Quadratwurzel T = 0,35355 Jahre. Wir müssen dies durch 2 teilen (es ist eine einfache Fahrt!) und mit 365,25 multiplizieren, um Tage zu erhalten. Multiplizieren: T/2 = (0,5) 0,35355 (365,25) = 64,6 Tage

Diese Zahl liegt zwischen 6 3 = 216 und 7 3 = 343, wenn der Rechner also R = 6,614 RE angibt. du weißt, du hast es richtig verstanden.

Wenn Sie als Lehrer versuchen, Keplers Gesetze zu behandeln, hoffe ich, dass Ihnen dieser kurze Überblick eine breite Palette von Werkzeugen und Einsichten bietet, die sich im Unterricht als nützlich erweisen können.

Jetzt weitergeben! Auf den hier beschriebenen Websites finden Sie noch viel mehr.


Keplersche Gesetze der Planetenbewegung

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Keplersche Gesetze der Planetenbewegung, in der Astronomie und der klassischen Physik, Gesetze, die die Bewegungen der Planeten im Sonnensystem beschreiben. Sie wurden vom deutschen Astronomen Johannes Kepler abgeleitet, dessen Analyse der Beobachtungen des dänischen Astronomen Tycho Brahe aus dem 16. Jahrhundert es ihm ermöglichte, seine ersten beiden Gesetze im Jahr 1609 und ein drittes Gesetz fast ein Jahrzehnt später, im Jahr 1618, zu verkünden diese Gesetze nie nummeriert oder von seinen anderen Entdeckungen besonders unterschieden.

Was bedeutet das erste Keplersche Gesetz?

Das erste Keplersche Gesetz besagt, dass sich Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen. Eine Ellipse ist eine Form, die einem abgeflachten Kreis ähnelt. Wie stark der Kreis abgeflacht ist, wird durch seine Exzentrizität ausgedrückt. Die Exzentrizität ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Sie ist null für einen perfekten Kreis.

Was ist Exzentrizität und wie wird sie bestimmt?

Die Exzentrizität einer Ellipse misst, wie abgeflacht ein Kreis sie ist. Sie ist gleich der Quadratwurzel von [1 - b*b/(a*a)]. Der Buchstabe a steht für die große Halbachse, den halben Abstand über die Längsachse der Ellipse. Der Buchstabe b steht für die kleine Halbachse, ½ der Abstand über die kurze Ellipsenachse. Für einen perfekten Kreis sind a und b gleich, sodass die Exzentrizität null ist. Die Umlaufbahn der Erde hat eine Exzentrizität von 0,0167, also ist sie fast ein perfekter Kreis.

Was bedeutet das dritte Keplersche Gesetz?

Wie lange ein Planet braucht, um die Sonne zu umrunden (seine Periode, P), hängt von der mittleren Entfernung des Planeten von der Sonne (d) ab. Das heißt, das Quadrat der Periode, P*P, dividiert durch die Kubik des mittleren Abstands, d*d*d, ist gleich einer Konstanten. Für jeden Planeten, unabhängig von seiner Periode oder Entfernung, ist P*P/(d*d*d) dieselbe Zahl.

Warum ist die Umlaufbahn eines Planeten langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist?

Ein Planet bewegt sich langsamer, wenn er weiter von der Sonne entfernt ist, da sich sein Drehimpuls nicht ändert. Bei einer Kreisbahn ist der Drehimpuls gleich der Masse des Planeten (m) mal der Entfernung des Planeten von der Sonne (d) mal der Geschwindigkeit des Planeten (v). Da sich m*v*d nicht ändert, wird d kleiner, wenn v größer wird, wenn ein Planet nahe an der Sonne ist. Wenn ein Planet weit von der Sonne entfernt ist, wird d größer, wenn v kleiner wird.

Wo ist die Erde, wenn sie am schnellsten reist?

Aus dem zweiten Keplerschen Gesetz folgt, dass sich die Erde am schnellsten bewegt, wenn sie der Sonne am nächsten ist. Dies geschieht Anfang Januar, wenn die Erde etwa 147 Millionen km (91 Millionen Meilen) von der Sonne entfernt ist. Wenn die Erde der Sonne am nächsten ist, bewegt sie sich mit einer Geschwindigkeit von 30,3 Kilometern pro Sekunde.


Nomenklatur

Es dauerte fast zwei Jahrhunderte, bis die heutige Formulierung von Keplers Werk seine feste Form angenommen hatte. Voltaires Elemente der Philosophie von Newton (Elemente der Newtonschen Philosophie) von 1738 war die erste Veröffentlichung, die die Terminologie "Gesetze" verwendet. [1] [2] Die Biographische Enzyklopädie der Astronomen stellt in seinem Artikel über Kepler (S. 620) fest, dass die Terminologie der wissenschaftlichen Gesetze für diese Entdeckungen mindestens seit der Zeit von Joseph de Lalande aktuell war. [3] Es war die Ausstellung von Robert Small, in Ein Bericht über die astronomischen Entdeckungen von Kepler (1814), die die Menge der drei Gesetze ausmachte, indem sie das dritte hinzufügten. [4] Small behauptete auch gegen die Geschichte, dass dies empirische Gesetze seien, die auf induktivem Denken beruhten. [2] [5]

Darüber hinaus ist die derzeitige Verwendung von "Kepler's Second Law" eine Fehlbezeichnung. Kepler hatte zwei qualitativ verwandte Versionen: das "Entfernungsgesetz" und das "Flächengesetz". Das "Flächengesetz" ist das, was in der Dreiergruppe zum zweiten Hauptsatz wurde, aber Kepler selbst hat es nicht auf diese Weise privilegiert. [6]


Keplers Gesetze der Planetenbewegung: 1609-1666*

Historiker der Wissenschaft des 17. Jahrhunderts haben häufig behauptet, dass Keplers Gesetze der Planetenbewegung zwischen der Zeit ihrer ersten Veröffentlichung (1609, 1619) und der Veröffentlichung von Newtons Principia (1687) weitgehend ignoriert wurden. Tatsächlich waren sie jedoch bekannter und anerkannter als allgemein anerkannt.

Keplers Ideen setzten sich allerdings eher langsam durch, und bis etwa 1630 finden sich in der damaligen Literatur nur wenige Hinweise darauf. Aber von da an nahm das Interesse an ihnen ziemlich schnell zu. Insbesondere das Prinzip der elliptischen Bahnen wurde von den meisten führenden Astronomen in Frankreich vor 1645 und in England um 1655 akzeptiert. Auch in Holland fand es recht starke Unterstützung.

Das zweite Gesetz hatte eine wechselvolle Geschichte. Es wurde von einigen Schriftstellern in seiner genauen Form ausgesprochen und von einigen anderen in der Praxis ohne ausdrückliche Formulierung verwendet, aber die Mehrheit, insbesondere nach 1645, bevorzugte die eine oder andere von mehreren Varianten, die einfacher zu verwenden, aber nur annähernd korrekt waren. Das dritte Gesetz erregte weniger Interesse als die anderen, hauptsächlich vielleicht, weil es keine befriedigende theoretische Grundlage hatte, aber es wurde im Berichtszeitraum von mindestens sechs Autoren richtig formuliert.

Zwischen 1630 und 1650 war Keplers Epitome Astronomiae Copernicanae (in der alle drei Gesetze klar formuliert waren) wohl das meistgelesene Werk zur theoretischen Astronomie in Nord- und Westeuropa, während seine auf den ersten beiden Gesetzen basierenden Rudolphine Tables wird von der Mehrheit der Astronomen als die genauesten Planetentafeln angesehen, die es gibt.

Keplers Werk hat sicherlich nicht die verdiente Anerkennung gefunden, aber die Vernachlässigung ist stark übertrieben.


Das dritte Keplersche Gesetz

Das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass das Quadrat der Umlaufperiode proportional zum Kubus der großen Halbachse der Ellipse ist, die von der Umlaufbahn verfolgt wird. Der dritte Hauptsatz lässt sich mit dem zweiten Hauptsatz beweisen. Angenommen, die Umlaufzeit ist τ. Da die Fläche einer Ellipse ab ist, sind a und b die Längen der großen und kleinen Halbachsen. Das zweite Keplersche Gesetz gibt:

Aus der Gleichung für die Exzentrizität hängen die Halbachsenlängen zusammen mit:

Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichung des zweiten Hauptsatzes und setzen Sie dann dieses Ergebnis für b² ein:

Erinnern Sie sich an unsere Gleichung für r(θ):

Wir haben θ₀ weggelassen und wählen ein Koordinatensystem, in dem θ=0 mit der Apoapsis zusammenfällt. Die Apoapsislänge ist a(1-e) und durch Gleichsetzen mit r(0) erhalten wir:

Jetzt vervollständigen wir den Beweis, indem wir dies in die Gleichung für die Periode einsetzen:


Keplers Verständnis der Gesetze

Kepler verstand nicht, warum seine Gesetze richtig waren, die Antwort darauf fand Isaac Newton mehr als fünfzig Jahre später. Newton, der verstand, dass sein drittes Bewegungsgesetz mit Keplers drittem Gesetz der Planetenbewegung zusammenhängt, entwickelte Folgendes:

  • P = siderische Periode des Objekts
  • ein = Haupthalbachse des Objekts
  • g = 6,67 &mal 10 &minus11 N m 2 /kg 2 = die Gravitationskonstante
  • m1 = Masse des Objekts 1
  • m2 = Masse des Objekts 2
  • &pi = mathematische Konstante pi

Astronomen, die Himmelsmechanik betreiben, verwenden oft die Einheiten von Jahren, AU, G=1 und Sonnenmassen und mit m2 <<m1 reduziert sich dies auf die Kepler-Form. SI-Einheiten können auch direkt in dieser Formel verwendet werden.


Position als Funktion der Zeit

Kepler verwendete seine beiden ersten Gesetze, um die Position eines Planeten als Funktion der Zeit zu berechnen. Seine Methode beinhaltet die Lösung einer transzendenten Gleichung namens Kepler-Gleichung.

Das Verfahren zur Berechnung der heliozentrischen Polarkoordinaten (R,θ) eines Planeten als Funktion der Zeit T seit Perihel sind die folgenden vier Schritte:

1. Berechnen Sie die bedeuten Anomalie m = nicht wo n ist die mittlere Bewegung. Radiant wo P ist die Periode. 2. Berechnen Sie die exzentrische Anomalie E durch Lösen der Kepler-Gleichung: 3. Berechnen Sie die wahre Anomalie θ nach der Gleichung: 4. Berechnen Sie die heliozentrischer Abstand

Der wichtige Sonderfall der Kreisbahn, ε =ـ, gibt θ = E = m. Da die gleichförmige Kreisbewegung als normal, eine Abweichung von dieser Bewegung wurde als Anomalie.

Der Beweis für dieses Verfahren ist unten gezeigt.

Mittlere Anomalie, m

Das Keplersche Problem nimmt eine elliptische Bahn und die vier Punkte an:

S die Sonne (an einem Brennpunkt der Ellipse) z das perihel C das Zentrum der Ellipse P der Planet

Abstand zwischen Zentrum und Perihel, der große Halbachse, das Exzentrizität, das Halbachse, der Abstand zwischen Sonne und Planet. die Richtung zum Planeten von der Sonne aus gesehen, die wahre Anomalie.

Das Problem besteht darin, die Polarkoordinaten (R,θ) des Planeten von der Zeit seit PerihelT.

Es wird in Schritten gelöst. Kepler betrachtete den Kreis mit der Hauptachse als Durchmesser, und

die Projektion des Planeten auf den Hilfskreis den Punkt auf dem Kreis so, dass die Sektorflächen |zcy| und |zsx| sind gleich, das bedeuten Anomalie.

Die Sektorbereiche sind verbunden durch

Der Kreissektorbereich

Das seit dem Perihel gefegte Gebiet,

ist nach dem zweiten Keplerschen Gesetz proportional zur Zeit seit dem Perihel. Also die mittlere Anomalie, m, ist proportional zur Zeit seit Perihel, T.

Exzentrische Anomalie, E

Wenn die mittlere Anomalie m berechnet wird, ist das Ziel, die wahre Anomalie zu berechnen θ. Die Funktion θ = F(m) ist jedoch nicht elementar. [19] Keplers Lösung ist die Verwendung von

, x von der Mitte aus gesehen, die exzentrische Anomalie

als Zwischenvariable und berechne zuerst E als Funktion von m indem Sie die untenstehende Kepler-Gleichung lösen und dann die wahre Anomalie berechnen θ von der exzentrischen Anomalie E. Hier sind die Details.

Division durch ein 2 /2 gibt Keplersche Gleichung

Diese Gleichung gibt m als Funktion von E. Bestimmung E für ein gegebenes m ist das inverse Problem. Iterative numerische Algorithmen werden häufig verwendet.

Nach Berechnung der exzentrischen Anomalie E, ist der nächste Schritt die wahre Anomalie zu berechnen θ.

Wahre Anomalie, θ

Beachten Sie aus der Abbildung, dass

Teilen durch und Einsetzen aus dem ersten Keplerschen Gesetz

Das Ergebnis ist eine brauchbare Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie E und die wahre Anomalie θ.

Eine rechnerisch bequemere Form folgt durch Einsetzen in die trigonometrische Identität:

Multiplizieren mit 1 + ε gibt das Ergebnis

Dies ist der dritte Schritt in der Verbindung zwischen Zeit und Position in der Umlaufbahn.

Distanz, R

Der vierte Schritt besteht darin, den heliozentrischen Abstand zu berechnen R von der wahren Anomalie θ nach dem ersten Keplerschen Gesetz:

Verwenden der obigen Beziehung zwischen θ und E die endgültige Gleichung für die Entfernung R ist:


Konzepte im Zusammenhang mit Keplers Gesetzen der Planetenbewegung

Beispiele für Umlaufbahnen gibt es zuhauf. Hunderte von künstlichen Satelliten umkreisen die Erde zusammen mit Tausenden von Trümmerteilen. Die Umlaufbahn des Mondes um die Erde hat die Menschen seit jeher fasziniert. Nicht weniger interessant sind die Bahnen von Planeten, Asteroiden, Meteoren und Kometen um die Sonne. Wenn wir weiter schauen, sehen wir eine fast unvorstellbare Anzahl von Sternen, Galaxien und anderen Himmelsobjekten, die einander umkreisen und durch die Schwerkraft interagieren.

Alle diese Bewegungen werden durch die Gravitationskraft bestimmt. Die Bahnbewegungen von Objekten in unserem eigenen Sonnensystem sind einfach genug, um sie mit ein paar ziemlich einfachen Gesetzen zu beschreiben. Die Umlaufbahnen von Planeten und Monden erfüllen die folgenden zwei Bedingungen:

  • Die Masse des umkreisenden Objekts, m, ist klein im Vergleich zur Masse des Objekts, das es umkreist, m.
  • Das System ist von anderen massiven Objekten isoliert.

Basierend auf der Bewegung der Planeten um die Sonne entwickelte Kepler eine Reihe von drei klassischen Gesetzen, die als Keplersche Gesetze der Planetenbewegung bezeichnet werden und die Umlaufbahnen aller Körper beschreiben, die diese beiden Bedingungen erfüllen:

  1. Die Umlaufbahn jedes Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt.
  2. Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times.
  3. The ratio of the squares of the periods of any two planets about the sun is equal to the ratio of the cubes of their average distances from the sun.

These descriptive laws are named for the German astronomer Johannes Kepler (1571–1630). He devised them after careful study (over some 20 years) of a large amount of meticulously recorded observations of planetary motion done by Tycho Brahe (1546–1601). Such careful collection and detailed recording of methods and data are hallmarks of good science. Data constitute the evidence from which new interpretations and meanings can be constructed. Let’s look closer at each of these laws.

Kepler’s First Law

The orbit of each planet about the sun is an ellipse with the sun at one focus, as shown in Figure 7.2. The planet’s closest approach to the sun is called perihelion and its farthest distance from the sun is called aphelion.

If you know the aphelion (rein) and perihelion (rp) distances, then you can calculate the semi-major axis (ein) and semi-minor axis (B).

Kepler’s Second Law

Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times, as shown in Figure 7.4.

Tips For Success

Note that while, for historical reasons, Kepler’s laws are stated for planets orbiting the sun, they are actually valid for all bodies satisfying the two previously stated conditions.

Kepler’s Third Law

The ratio of the periods squared of any two planets around the sun is equal to the ratio of their average distances from the sun cubed. In equation form, this is

wo T is the period (time for one orbit) and r is the average distance (also called orbital radius). This equation is valid only for comparing two small masses orbiting a single large mass. Most importantly, this is only a descriptive equation it gives no information about the cause of the equality.

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History: Ptolemy vs. Copernicus

Before the discoveries of Kepler, Copernicus, Galileo, Newton, and others, the solar system was thought to revolve around Earth as shown in Figure 7.5 (a). This is called the Ptolemaic model , named for the Greek philosopher Ptolemy who lived in the second century AD. The Ptolemaic model is characterized by a list of facts for the motions of planets, with no explanation of cause and effect. There tended to be a different rule for each heavenly body and a general lack of simplicity.

Figure 7.5 (b) represents the modern or Copernican model . In this model, a small set of rules and a single underlying force explain not only all planetary motion in the solar system, but also all other situations involving gravity. The breadth and simplicity of the laws of physics are compelling.

Nicolaus Copernicus (1473–1543) first had the idea that the planets circle the sun, in about 1514. It took him almost 20 years to work out the mathematical details for his model. He waited another 10 years or so to publish his work. It is thought he hesitated because he was afraid people would make fun of his theory. Actually, the reaction of many people was more one of fear and anger. Many people felt the Copernican model threatened their basic belief system. About 100 years later, the astronomer Galileo was put under house arrest for providing evidence that planets, including Earth, orbited the sun. In all, it took almost 300 years for everyone to admit that Copernicus had been right all along.

Explain why Earth does actually appear to be the center of the solar system.

  1. Earth appears to be the center of the solar system because Earth is at the center of the universe, and everything revolves around it in a circular orbit.
  2. Earth appears to be the center of the solar system because, in the reference frame of Earth, the sun, moon, and planets all appear to move across the sky as if they were circling Earth.
  3. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is at the center of the solar system and all the heavenly bodies revolve around it.
  4. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is located at one of the foci of the elliptical orbit of the sun, moon, and other planets.

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Beschleunigung

This simulation allows you to create your own solar system so that you can see how changing distances and masses determines the orbits of planets. Klicken Help for instructions.


Practica Prophetica

F or eight years, Kepler sought unceasingly, with unremitting toil, to solve the law of planetary motion. During those years, he tried nineteen different hypotheses. One after another of these he was compelled to lay aside as not conforming to the motion of the planets. His courage and patience transfigured failure into success.

When, after days of study and nights of observation, the months showed a theory untenable, he turned from it without regret, knowing that there was one less theory to try. At last, he was compelled to give up every theory of the circle as the explanation of orbital motion. He then chose the next to the circle in simplicity, the ellipse. Here he found all the conditions met.

The problem at last was solved, and he cried,

“O almighty God, I am thinking Thy thoughts after Thee!”

When he had established his second and third laws, and written his exposition of them, he said:

“My book is written to be read either now or by posterity I care not which. It may well wait a century for a reader, since God has waited six thousand years for an observer.”

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